Mechanika kwantowa

Autor: Stanisław Kryszewski

Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego

ISBN: 978-83-7865-757-6

Rok wydania: 2018

Liczba stron: 332

Format: A4

est to podręcznik dla studentów, którzy (na poważnie) rozpoczynają studiować mechanikę kwantową. Zasadniczym celem autora było intuicyjne i przejrzyste poprowadzenie wykładu. Liczne trudności matematyczne są szczegółowo omówione – co odciąża osobę studiującą i ułatwia jej skupienie się na meritum fizycznym. Dobór i zakres materiału są czysto autorskie, lecz odpowiadają typowemu kursowi uniwersyteckiemu na trzecim roku studiów fizyki.

Spis treści

Od Autora

0.1 Mechanika kwantowa nie jest łatwa

0.2 Informacje dla Czytelnika

1 Czastki i fale

1.1 Fale elektromagnetyczne i fotony

1.2 Analiza doswiadczenia interferencyjnego Younga

1.2.1 Eksperyment pierwszy – jedna szczelina otwarta

1.2.2 Eksperyment drugi – obie szczeliny otwarte

1.2.3 Dyskusja opisu korpuskularnego

1.3 Dualizm korpuskularno-falowy

1.3.1 Podsumowanie omawianych doswiadczen

1.3.2 Potrzeba innego opisu

1.3.3 Dualizm korpuskularno-falowy

1.4 Idea rozkładu spektralnego

1.4.1 Dyskusja eksperymentu polaryzacyjnego

1.4.2 Wnioski kwantowo-mechaniczne

2 Funkcje falowe i równanie Schrödingera

2.1 Hipoteza de Broglie’a. Funkcje falowe

2.2 Równanie Schrödingera

2.2.1 Uwagi i komentarze

2.2.2 Uzasadnienie równania Schrödingera

2.2.3 Uogólnienie

2.3 Probabilistyczna interpretacja funkcji falowej

2.4 Gestosc i prad prawdopodobienstwa

2.4.1 Gestosc pradu prawdopodobienstwa

2.4.2 Ciagłosc prawdopodobienstwa

3 Stacjonarne równanie Schrödingera

3.1 Wyprowadzenie

3.2 Ogólne rozwiazania

3.3 Czastka swobodna

3.3.1 Stacjonarne funkcje falowe

3.3.2 Problemy interpretacyjne

3.3.3 Nowa (inna) interpretacja

3.4 Stany zwiazane i rozproszeniowe

3.4.1 Dyskusja ogólna

3.4.2 Uwagi o ciagłosci funkcji falowych

4 Podstawy formalizmu mechaniki kwantowej

4.1 Przeglad metod matematycznych

4.1.1 Przestrzen funkcji falowych – przestrzen Hilberta

4.1.2 Operatory liniowe na przestrzeni funkcji falowych

4.1.3 Operatory hermitowskie

4.2 Pomiary kwantowo-mechaniczne

4.2.1 Obserwable

4.2.2 Pomiar kwantowo-mechaniczny

4.2.3 Postulaty pomiarowe

4.3 Wartosci oczekiwane i wariancje

4.3.1 Wartosci oczekiwane

4.3.2 Wariancje

4.4 Konstrukcja operatorów – obserwabli

4.4.1 Operatory połozenia i pedu

4.4.2 Zasada odpowiedniosci

4.4.3 Hamiltonian czastki

4.5 Nawiasy Poissona i relacje komutacyjne. Metoda kwantowania

5 Równanie Schrödingera

5.1 Zachowanie normy wektora stanu – funkcji falowej

5.2 Równanie Schrödingera dla układu konserwatywnego

5.2.1 Ewolucja w czasie

5.2.2 Normowanie funkcji falowej (5.20)

5.2.3 Stan poczatkowy – stan własny hamiltonianu

5.2.4 Uwagi o zachowaniu energii

5.3 Ewolucja wartosci oczekiwanej obserwabli

5.3.1 hAit – liczbowa funkcja czasu

5.3.2 Równanie ruchu dla hAit

5.4 Równania Ehrenfesta

5.4.1 Wyprowadzenie równan Ehrenfesta

5.4.2 Dyskusja. Granica klasyczna

6 Zasada nieoznaczonosci

6.1 Formalna zasada nieoznaczonosci

6.1.1 Pojecia wstepne

6.1.2 Zasada nieoznaczonosci

6.1.3 Warunki minimalizacji zasady nieoznaczonosci

6.2 Dyskusja i pewne zastosowania

6.2.1 Ogólne sformułowanie

6.2.2 Relacja nieoznaczonosci połozenie-ped

6.2.3 Zastosowanie do atomu w modelu Bohra .

6.3 Zasada nieoznaczonosci energia-czas

7 Wazny przykład. Oscylator harmoniczny

7.1 Klasyczny oscylator harmoniczny

7.2 Dlaczego oscylator jest taki wazny?

7.3 Stacjonarne równanie Schrödingera dla oscylatora

7.3.1 Zamiana zmiennych

7.3.2 Zachowanie asymptotyczne

7.3.3 Równanie dla funkcji f()

7.3.4 Rozwiazania. Wielomiany Hermite’a

7.3.5 Podsumowanie: funkcje i energie własne oscylatora

7.4 Pewne zastosowania

7.4.1 Element macierzowy operatora połozenia

7.4.2 Element macierzowy operatora pedu

7.4.3 Elementy macierzowe h k | x2 | n i i h k | p2 | n i

7.4.4 Zasada nieoznaczonosci dla oscylatora w stanie n(x)

7.4.5 Szacowanie energii stanu podstawowego z zasady nieoznaczonosci

8 Notacja Diraca 117

8.1 Abstrakcyjna przestrzen wektorów stanu

8.2 Kety i bra. Notacja Diraca

8.3 Operatory liniowe

8.3.1 Operatory, kety i bra

8.3.2 Operator rzutowy

8.4 Sprzezenia hermitowskie w notacji Diraca

8.4.1 Definicja operatora sprzezonego

8.4.2 Własnosci sprzezenia hermitowskiego

8.4.3 Uwagi dodatkowe i przykłady

8.4.4 Notacja Diraca – reguły mnemotechniczne

8.5 Operatory hermitowskie – obserwable

9 Reprezentacje w przestrzeni stanów 127

9.1 Definicja reprezentacji

9.1.1 Intuicyjne wprowadzenie

9.1.2 Relacje ortonormalnosci i zupełnosci

9.2 Reprezentacje ketów, bra oraz operatorów

9.2.1 Reprezentacje ketów i bra

9.2.2 Reprezentacja iloczynu skalarnego

9.2.3 Uwagi o normowaniu

9.2.4 Reprezentacja wektora | ˜ i = Aˆ| i

9.2.5 Reprezentacja iloczynu operatorów

9.2.6 Elementy macierzowe operatora sprzezonego

9.2.7 Wyrazenie dla h ' | Aˆ | i

9.3 Nowa terminologia .

9.3.1 Funkcje falowe w reprezentacji U

9.3.2 Operatory w reprezentacji U

9.3.3 Wyjasnienia dodatkowe

10 Reprezentacje połozeniowa i pedowa 139

10.1 Reprezentacja połozeniowa

10.1.1 Definicja reprezentacji połozeniowej

10.1.2 Funkcje falowe w reprezentacji połozeniowej

10.1.3 Operatory w reprezentacji połozeniowej

10.1.4 Operator pedu w reprezentacji połozeniowej

10.1.5 Zasada odpowiedniosci w reprezentacji połozeniowej

10.2 Reprezentacja pedowa

10.3 Zwiazek miedzy reprezentacjami |~r i i | ~p i

10.3.1 Funkcje własne pedu w reprezentacji połozeniowej

10.3.2 Zmiana reprezentacji – pary fourierowskie

10.3.3 Czastka swobodna

10.3.4 Kłopoty interpretacyjne

11 Zupełny zbiór obserwabli komutujacych

11.1 Twierdzenia matematyczne

11.2 Zupełny zbiór obserwabli komutujacych (ZZOK)

11.3 Uwagi praktyczne

12 Postulaty mechaniki kwantowej

12.1 Postulat 1: wektor stanu

12.2 Postulat 2: obserwable

12.3 Postulat 3: wyniki pomiarów – wartosci własne obserwabli

12.4 Postulat 4: prawdopodobienstwo wyników pomiarowych

12.4.1 Przypadek widma dyskretnego bez degeneracji

12.4.2 Przypadek widma dyskretnego z degeneracja

12.4.3 Przypadek widma ciagłego

12.4.4 Ogólne komentarze do postulatu 4

12.5 Postulat 5: pomiar – redukcja wektora stanu

12.6 Postulat 6: ewolucja w czasie – równanie Schrödingera

13 Kwantowa teoria momentu pedu

13.1 Podstawowe definicje

13.2 Relacje komutacyjne

13.3 Ogólny operator moment pedu

13.3.1 Uogólnienia

13.3.2 Relacje komutacyjne

13.4 Wartosci własne operatorów ~J2 oraz J3 = Jz

13.4.1 Wartosc własna m jest ograniczona

13.4.2 Własnosci J±| j m i

13.4.3 Wartosci własne ~J2 oraz J3 = Jz

13.4.4 Podsumowanie

13.5 Wektory własne operatorów ~J2 oraz J3 = Jz. Reprezentacja standardowa

14 Orbitalny moment pedu

14.1 Ogólne własnosci orbitalnego momentu pedu

14.1.1 Wartosci własne i wektory własne

14.1.2 Elementy macierzowe

14.2 Orbitalny moment pedu w reprezentacji połozeniowej

14.2.1 Współrzedne kartezjanskie i sferyczne

14.2.2 Operatory Lk we współrzednych sferycznych

14.2.3 Operator ~L2 we współrzednych sferycznych

14.2.4 Wartosci własne i funkcje własne ~L2 i L3

14.3 Harmoniki sferyczne

14.3.1 Pozyteczne formuły

15 Stany stacjonarne w potencjale centralnym

15.1 Kwantowe zagadnienie dwóch ciał

15.1.1 Separacja zmiennych w mechanice kwantowej

15.1.2 Wartosci i funkcje własne hamiltonianu

15.1.3 Współrzedne sferyczne. Hamiltonian

15.2 Radialne równanie Schrödingera

15.2.1 Zupełny zbiór obserwabli komutujacych

15.2.2 Radialne równanie Schrödingera

15.2.3 Zachowanie sie funkcji radialnych w r = 0

15.3 Podsumowanie

16 Atom wodoropodobny

16.1 Stabilnosc atomu

16.1.1 Dyskusja klasyczna

16.1.2 Dyskusja kwantowo-mechaniczna

16.2 Kwantowo-mechaniczna teoria atomu wodoropodobnego

16.2.1 Równanie radialne – własnosci

16.2.2 Rozwiazanie równania radialnego

16.2.3 Analiza rekurencji i kwantowanie energii

16.3 Omówienie uzyskanych rezultatów

16.3.1 Poziomy energetyczne. Główna liczba kwantowa

16.3.2 Radialne funkcje falowe

16.3.3 Sredni rozmiar atomu

16.4 Podsumowanie

17 Oddziaływanie z polem elektromagnetycznym

17.1 Przyblizenie półklasyczne w mechanice kwantowej

17.1.1 Hamiltonian

17.1.2 Niezmienniczosc ze wzgledu na cechowanie

17.1.3 Ciagłosc pradu prawdopodobienstwa

17.2 Jednorodne pole magnetyczne

17.2.1 Wybór potencjału wektorowego

17.2.2 Hamiltonian

17.2.3 Dyskusja rzedów wielkosci

17.2.4 Interpretacja członu paramagnetycznego i diamagnetycznego

17.3 Normalny efekt Zeemana dla atomu wodoropodobnego

17.3.1 Poziomy energetyczne

17.3.2 Dyskusja fizyczna

18 Teoria spinu 1/2

18.1 Braki dotychczasowej teorii

18.2 Postulaty teorii Pauliego

18.3 Macierze Pauliego i operatory spinu 1/2

18.4 Nierelatywistyczny opis czastki o spinie 1/2

18.4.1 Wektory stanu – spinory

18.4.2 Operatory i ich działanie na spinory

18.4.3 Obliczanie prawdopodobienstw i wartosci oczekiwanych

19 Dodawanie momentów pedu

19.1 Całkowity moment pedu

19.1.1 Przykład kwantowo-mechaniczny

19.1.2 Oddziaływanie spin-orbita – dyskusja wstepna

19.2 Dodawanie dwóch momentów pedu

19.2.1 Omówienie ogólne

19.2.2 Podstawowe własnosci operatora ~J =~j1 +~j2

19.2.3 Wartosci własne (liczby kwantowe) J oraz M

19.2.4 Wektory własne operatorów ~J2 i J3

19.3 Współczynniki Clebscha-Gordana (CG)

19.3.1 Własnosci współczynników CG

20 Stacjonarny rachunek zaburzen

20.1 Istota problemu

20.2 Rachunek zaburzen dla stanu niezdegenerowanego

20.2.1 Formalizm matematyczny

20.2.2 Poprawki pierwszego i drugiego rzedu

20.2.3 Dyskusja uzyskanych rezultatów

20.3 Rachunek zaburzen dla stanu zdegenerowanego

20.3.1 Formalizm rachunku zaburzen z degeneracja

20.3.2 Dyskusja macierzy zaburzenia

20.3.3 Podsumowanie

20.3.4 Przykłady zastosowan

21 Rachunek zaburzen z czasem

21.1 Przyblizone rozwiazanie równania Schrödingera

21.1.1 Wpływ zewnetrznego zaburzenia

21.1.2 Prawdopodobienstwo przejscia w pierwszym rzedzie rachunku zaburzen

21.2 Zaburzenie harmoniczne

21.2.1 Prawdopodobienstwo przejscia

21.2.2 Własnosci funkcji pomocniczych

21.2.3 Przyblizenie rezonansowe

21.2.4 Zaburzenie stałe w czasie

21.2.5 Szerokosc rezonansu i zasada nieoznaczonosci

21.2.6 Warunki stosowalnosci

21.2.7 Podsumowanie

21.3 Sprzezenie ze stanami z kontinuum

21.3.1 Dyskusja problemu

21.3.2 Złota reguła Fermiego

22 Oddziaływanie atomów z fala elektromagnetyczna

22.1 Hamiltonian oddziaływania

22.2 Układ atomowy

22.3 Oddziaływanie z fala elektromagnetyczna

22.3.1 Fala płaska. Hamiltonian oddziaływania z atomem

22.4 Prawdopodobienstwo przejscia

22.4.1 Przyblizenie dipolowe

22.4.2 Uzasadnienie zaniedbania członu ~S · ~B

22.4.3 Obliczenia

22.5 Reguły wyboru

22.5.1 Polaryzacja liniowa

22.5.2 Polaryzacja kołowa

22.5.3 Uwagi dodatkowe

22.6 Stosowalnosc rachunku zaburzen

22.7 Współczynniki A i B Einsteina

22.7.1 Promieniowanie ciała doskonale czarnego. Teoria Einsteina

22.7.2 Wyniki kwantowo-mechaniczne

22.7.3 Usrednienie po orientacjach dipola atomowego

22.7.4 Współczynnik A emisji spontanicznej

22.7.5 Czas zycia wzbudzonego stanu atomowego

Bibliografia

Skorowidz